Armenian Knowledge Base  

Go Back   Armenian Knowledge Base > Thematic forums > Science and Education
Register

Reply
 
LinkBack Thread Tools
Old 21.07.2004, 15:21   #1
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default Try zis

хе хе

Нужно доказать что:
1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * ... * 97/98 * 99/100 < 1/10

Сие -- задачка из учебника 7ого класса общеобразовательной шлолы РА (хотя собственно его у меня под рукой нету). Семиклассник, да еще в нашеих школах, существо малопросвещенное, поэтому нужно решать без факториалов и прочего.
Reply With Quote
Old 21.07.2004, 22:12   #2
спасибо, коллега
 
tig's Avatar
 
Join Date: 03 2003
Location: yerevan, am
Age: 38
Posts: 2,090
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить тогда хоть циферки запомнит
Reply With Quote
Old 22.07.2004, 06:56   #3
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

Quote:
Originally Posted by tig
если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить тогда хоть циферки запомнит
Лол, int перебъет....

Других версий не будет? Есть у нас семиклассники?
Reply With Quote
Old 22.07.2004, 19:24   #4
the happiest girl
 
Join Date: 02 2002
Location: Yerevan
Posts: 2,523
Downloads: 1
Uploads: 0
Reputation: 63 | 4
Default

а можно подсказку?
Reply With Quote
Old 23.07.2004, 07:31   #5
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

Quote:
Originally Posted by PsilocybeLarvae
а можно подсказку?
Так у меня-ж ее нет Я сам не знаю толком как это решить.
Reply With Quote
Old 23.07.2004, 13:04   #6
The Reloaded
 
Aram Hambardzumyan's Avatar
 
Join Date: 01 2002
Location: behind the flesh and gelatinе of soft dull eyes
Posts: 3,387
Downloads: 4
Uploads: 0
Reputation: 146 | 4
Default

я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно
Reply With Quote
Old 23.07.2004, 15:20   #7
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

Quote:
Originally Posted by Aram Hambardzumyan
я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно
Xexch ylni et erexen
Я же говорю: задача учебника седьмого класса, вся фишка в каком-то фокусе, типо помножить обе стороны на что-то...
Reply With Quote
Old 24.07.2004, 06:43   #8
the happiest girl
 
Join Date: 02 2002
Location: Yerevan
Posts: 2,523
Downloads: 1
Uploads: 0
Reputation: 63 | 4
Default

Quote:
Originally Posted by Obelix
Xexch ylni et erexen
ага, я уже вижу как он бедненький безутешно рыдает над учебником

так и быть, вечером поинтересуюсь у папы как ее решить
Reply With Quote
Old 24.07.2004, 08:26   #9
Смотри мне прямо в глаза!
 
Monopole's Avatar
 
Join Date: 09 2003
Location: Все там будем.....
Age: 41
Posts: 16,499
Downloads: 1
Uploads: 0
Reputation: 493 | 6
Default

Мы вроде совместными усилиями решили.
Итак
1/2*3/4*5/6*7/8*....*99/100 < 1/10
В левой части все знаменатели четные, вынесем двойки за скобку (значёк ^ означает возведение в степень)

(1/2)^50 (3/2*5/3*7/4*9/5*11/6....99/50)

Теперь можно сократить все нечетные числа в числителе и знаменателе до 49

(1/2)^50 (1/2*1/4*1/6*1/8...1/24)*(51/26*...99/50)

Впкрвой скобке 12 сомножителей, во второй -24.

Теперь давайте оценим, каждый сомножитель первой скобки меньше 2, следовательно сама скобка меньше, чем два в степени 12, каждый сомножитель второй скобки тоже мньше 2, следовательно вся скобка мень, чем два в степени 24, итак левая часть у нам меньше чем
(1/2)^50 * 2^(12+24)=(1/2)^14
А уж одна вторая в степени 14 меньше, чем 1/10
__________________
Богохульник, чревоугодник, прелюбодей, к вашим услугам.
Reply With Quote
Old 24.07.2004, 11:18   #10
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять
Reply With Quote
Old 26.07.2004, 06:49   #11
Смотри мне прямо в глаза!
 
Monopole's Avatar
 
Join Date: 09 2003
Location: Все там будем.....
Age: 41
Posts: 16,499
Downloads: 1
Uploads: 0
Reputation: 493 | 6
Default

Quote:
Originally Posted by Obelix
>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять
А с каким решением задумывалась задачка ? В 7-ом классе уже проходят прогрессии ? Мне кажется, что тут что-то связанное с ними тоже можно применить.
Reply With Quote
Old 26.07.2004, 09:14   #12
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

>Monopole
Насколько я слышал, задачка имеет стандартное 'фокусное' решения, только надо заметить. Умножить на что-то наверное надо, и все развяжется.
Reply With Quote
Old 28.07.2004, 08:12   #13
панаехавший
 
Obelix's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: форпост
Age: 30
Posts: 4,007
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

Вот одно красивое решение, о котором мне analyst рассказал. Но думаюю оно не единственное (красивое).

Доказываем, что
k/(k+1)<(k+1)/(k+2) для любого натурального k. Если семиклассник не в состоянии это доказать, то я согласен с tig'ом: надо его заставить перемножить все.

Далее:
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 2/3 * 4/5 *...* 100/101 = (2/1 * 4/3 * ... *100/99)*1/101
Перетаскивая выражиение в скобках в левую сторону:
(1/2 * 3/4 * ... * 99/100)^2 < 1/101
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 1/sqrt(101) < 1/10
Что и требовалось доказать.
__________________
Իսկ ԴՈՒ արդեն վաճառե՞լ ես Հայրենիքդ ռուսներին:
My Exchange Rate Monitor | Իմ Արտարժույթի Մոնիտորը
Reply With Quote
Old 28.07.2004, 08:40   #14
the happiest girl
 
Join Date: 02 2002
Location: Yerevan
Posts: 2,523
Downloads: 1
Uploads: 0
Reputation: 63 | 4
Default

my dad came up with the same one
Reply With Quote
Old 31.08.2004, 08:20   #15
скромный VIP
 
analyst's Avatar
 
Join Date: 06 2003
Location: Yerevan
Age: 30
Posts: 960
Downloads: 0
Uploads: 0
Reputation: 0 | 0
Default

Вот вам еще один "трай зис"

доказать что

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

a>0; b>0 ; c>0

Last edited by analyst; 31.08.2004 at 08:40.
Reply With Quote
Sponsored Links
Reply

Thread Tools


На правах рекламы:
реклама

All times are GMT. The time now is 04:42.


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2017, Jelsoft Enterprises Ltd.