Try zis

Obelix · Jul 21, 2004, 14:21

хе хе

Нужно доказать что:
1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * ... * 97/98 * 99/100 < 1/10

Сие -- задачка из учебника 7ого класса общеобразовательной шлолы РА (хотя собственно его у меня под рукой нету). Семиклассник, да еще в нашеих школах, существо малопросвещенное, поэтому нужно решать без факториалов и прочего.

tig · Jul 21, 2004, 21:12

если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить

тогда хоть циферки запомнит

Obelix · Jul 22, 2004, 05:56

Quote:

Originally Posted by tig

если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить

тогда хоть циферки запомнит

Лол, int перебъет....

Других версий не будет? Есть у нас семиклассники?

PsilocybeLarvae · Jul 22, 2004, 18:24

а можно подсказку?

Obelix · Jul 23, 2004, 06:31

Quote:

Originally Posted by PsilocybeLarvae

а можно подсказку?

Так у меня-ж ее нет

Я сам не знаю толком как это решить.

Aram Hambardzumyan · Jul 23, 2004, 12:04

я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно

Obelix · Jul 23, 2004, 14:20

Quote:

Originally Posted by Aram Hambardzumyan

я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно

Xexch ylni et erexen

Я же говорю: задача учебника седьмого класса, вся фишка в каком-то фокусе, типо помножить обе стороны на что-то...

PsilocybeLarvae · Jul 24, 2004, 05:43

Quote:

Originally Posted by Obelix

Xexch ylni et erexen

ага, я уже вижу как он бедненький безутешно рыдает над учебником

так и быть, вечером поинтересуюсь у папы как ее решить

Monopole · Jul 24, 2004, 07:26

Мы вроде совместными усилиями решили.
Итак
1/2*3/4*5/6*7/8*....*99/100 < 1/10
В левой части все знаменатели четные, вынесем двойки за скобку (значёк ^ означает возведение в степень)

(1/2)^50 (3/2*5/3*7/4*9/5*11/6....99/50)

Теперь можно сократить все нечетные числа в числителе и знаменателе до 49

(1/2)^50 (1/2*1/4*1/6*1/8...1/24)*(51/26*...99/50)

Впкрвой скобке 12 сомножителей, во второй -24.

Теперь давайте оценим, каждый сомножитель первой скобки меньше 2, следовательно сама скобка меньше, чем два в степени 12, каждый сомножитель второй скобки тоже мньше 2, следовательно вся скобка мень, чем два в степени 24, итак левая часть у нам меньше чем
(1/2)^50 * 2^(12+24)=(1/2)^14
А уж одна вторая в степени 14 меньше, чем 1/10

Obelix · Jul 24, 2004, 10:18

>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять

Monopole · Jul 26, 2004, 05:49

Quote:

Originally Posted by Obelix

>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять

А с каким решением задумывалась задачка ? В 7-ом классе уже проходят прогрессии ? Мне кажется, что тут что-то связанное с ними тоже можно применить.

Obelix · Jul 26, 2004, 08:14

>Monopole
Насколько я слышал, задачка имеет стандартное 'фокусное' решения, только надо заметить. Умножить на что-то наверное надо, и все развяжется.

Obelix · Jul 28, 2004, 07:12

Вот одно красивое решение, о котором мне analyst рассказал. Но думаюю оно не единственное (красивое).

Доказываем, что
k/(k+1)<(k+1)/(k+2) для любого натурального k. Если семиклассник не в состоянии это доказать, то я согласен с tig'ом: надо его заставить перемножить все.

Далее:
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 2/3 * 4/5 *...* 100/101 = (2/1 * 4/3 * ... *100/99)*1/101
Перетаскивая выражиение в скобках в левую сторону:
(1/2 * 3/4 * ... * 99/100)^2 < 1/101
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 1/sqrt(101) < 1/10
Что и требовалось доказать.

PsilocybeLarvae · Jul 28, 2004, 07:40

my dad came up with the same one

analyst · Aug 31, 2004, 07:20

Вот вам еще один "трай зис"

доказать что

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

a>0; b>0 ; c>0

Jul 21, 2004, 14:21	#1
Obelix панаехавший Join Date: Jun 2003 Location: форпост Posts: 4,005 Rep Power: 6 Reputation: 10	Try zis хе хе Нужно доказать что: 1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * ... * 97/98 * 99/100 < 1/10 Сие -- задачка из учебника 7ого класса общеобразовательной шлолы РА (хотя собственно его у меня под рукой нету). Семиклассник, да еще в нашеих школах, существо малопросвещенное, поэтому нужно решать без факториалов и прочего. __________________ Իսկ ԴՈՒ արդեն վաճառե՞լ ես Հայրենիքդ ռուսներին: My Exchange Rate Monitor \| Իմ Արտարժույթի Մոնիտորը

Jul 22, 2004, 18:24	#4
PsilocybeLarvae the happiest girl Join Date: Feb 2002 Location: Yerevan Posts: 2,521 Rep Power: 7 Reputation: 73	а можно подсказку? __________________ So much good, so much evil. Just add water. (c)

Jul 23, 2004, 12:04	#6
Aram Hambardzumyan The Reloaded Join Date: Jan 2002 Location: behind the flesh and gelatinе of soft dull eyes Posts: 3,180 Rep Power: 7 Reputation: 45	я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно __________________ Сайт армянских маньяков

Jul 24, 2004, 07:26	#9
Monopole Смотри мне прямо в глаза! Join Date: Sep 2003 Location: Все там будем..... Posts: 16,515 Rep Power: 9 Reputation: 486	Мы вроде совместными усилиями решили. Итак 1/23/45/67/8....99/100 < 1/10 В левой части все знаменатели четные, вынесем двойки за скобку (значёк ^ означает возведение в степень) (1/2)^50 (3/25/37/49/511/6....99/50) Теперь можно сократить все нечетные числа в числителе и знаменателе до 49 (1/2)^50 (1/21/41/61/8...1/24)(51/26...99/50) Впкрвой скобке 12 сомножителей, во второй -24. Теперь давайте оценим, каждый сомножитель первой скобки меньше 2, следовательно сама скобка меньше, чем два в степени 12, каждый сомножитель второй скобки тоже мньше 2, следовательно вся скобка мень, чем два в степени 24, итак левая часть у нам меньше чем (1/2)^50 * 2^(12+24)=(1/2)^14 А уж одна вторая в степени 14 меньше, чем 1/10 __________________ Богохульник, чревоугодник, прелюбодей, к вашим услугам.

Jul 24, 2004, 10:18	#10
Obelix панаехавший Join Date: Jun 2003 Location: форпост Posts: 4,005 Rep Power: 6 Reputation: 10	>Monopole Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять __________________ Իսկ ԴՈՒ արդեն վաճառե՞լ ես Հայրենիքդ ռուսներին: My Exchange Rate Monitor \| Իմ Արտարժույթի Մոնիտորը

Jul 21, 2004, 21:12	#2
tig спасибо, коллега Join Date: Mar 2003 Location: yerevan, am Posts: 2,090 Rep Power: 6 Reputation: 10	если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить тогда хоть циферки запомнит

Jul 26, 2004, 08:14	#12
Obelix панаехавший Join Date: Jun 2003 Location: форпост Posts: 4,005 Rep Power: 6 Reputation: 10	>Monopole Насколько я слышал, задачка имеет стандартное 'фокусное' решения, только надо заметить. Умножить на что-то наверное надо, и все развяжется. __________________ Իսկ ԴՈՒ արդեն վաճառե՞լ ես Հայրենիքդ ռուսներին: My Exchange Rate Monitor \| Իմ Արտարժույթի Մոնիտորը

Jul 28, 2004, 07:12	#13
Obelix панаехавший Join Date: Jun 2003 Location: форпост Posts: 4,005 Rep Power: 6 Reputation: 10	Вот одно красивое решение, о котором мне analyst рассказал. Но думаюю оно не единственное (красивое). Доказываем, что k/(k+1)<(k+1)/(k+2) для любого натурального k. Если семиклассник не в состоянии это доказать, то я согласен с tig'ом: надо его заставить перемножить все. Далее: 1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 2/3 * 4/5 ... 100/101 = (2/1 * 4/3 * ... 100/99)1/101 Перетаскивая выражиение в скобках в левую сторону: (1/2 * 3/4 * ... * 99/100)^2 < 1/101 1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 1/sqrt(101) < 1/10 Что и требовалось доказать. __________________ Իսկ ԴՈՒ արդեն վաճառե՞լ ես Հայրենիքդ ռուսներին: My Exchange Rate Monitor \| Իմ Արտարժույթի Մոնիտորը

Jul 28, 2004, 07:40	#14
PsilocybeLarvae the happiest girl Join Date: Feb 2002 Location: Yerevan Posts: 2,521 Rep Power: 7 Reputation: 73	my dad came up with the same one __________________ So much good, so much evil. Just add water. (c)

Aug 31, 2004, 07:20	#15
analyst скромный VIP Join Date: Jun 2003 Location: Yerevan Posts: 959 Rep Power: 6 Reputation: 10	Вот вам еще один "трай зис" доказать что (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9 a>0; b>0 ; c>0 __________________ И аткуда такие беруцца??? Last edited by analyst : Aug 31, 2004 at 07:40.

Thread Tools
Show Printable Version Email this Page
Display Modes
Linear Mode Switch to Hybrid Mode Switch to Threaded Mode