Try zis

[Obelix]

хе хе

Нужно доказать что:
1/2 * 3/4 * 5/6 * 7/8 * ... * 97/98 * 99/100 < 1/10

Сие -- задачка из учебника 7ого класса общеобразовательной шлолы РА (хотя собственно его у меня под рукой нету). Семиклассник, да еще в нашеих школах, существо малопросвещенное, поэтому нужно решать без факториалов и прочего.

[tig]

если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить тогда хоть циферки запомнит

[Obelix]

Originally Posted by tig

если это оболтус-семиклассник, в воспитательных целях надо заставить все перемножить тогда хоть циферки запомнит

Лол, int перебъет....

Других версий не будет? Есть у нас семиклассники?

[PsilocybeLarvae]

а можно подсказку?

[Obelix]

Originally Posted by PsilocybeLarvae

а можно подсказку?

Так у меня-ж ее нет Я сам не знаю толком как это решить.

[Aram Hambardzumyan]

я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно

[Obelix]

Originally Posted by Aram Hambardzumyan

я немного преобразовал левую часть неравенства, там оказывается записана вероятность того, что в выбранном случайно 100-битовом числе будет одинаковое число нулей и единиц. остается подобрать событие с вероятностью 1/10 (например, что случайно выбранное число делится на 10) и показать, что оно более вероятно

Xexch ylni et erexen
Я же говорю: задача учебника седьмого класса, вся фишка в каком-то фокусе, типо помножить обе стороны на что-то...

[PsilocybeLarvae]

Originally Posted by Obelix

Xexch ylni et erexen

ага, я уже вижу как он бедненький безутешно рыдает над учебником

так и быть, вечером поинтересуюсь у папы как ее решить

[Monopole]

Мы вроде совместными усилиями решили.
Итак
1/2*3/4*5/6*7/8*....*99/100 < 1/10
В левой части все знаменатели четные, вынесем двойки за скобку (значёк ^ означает возведение в степень)

(1/2)^50 (3/2*5/3*7/4*9/5*11/6....99/50)

Теперь можно сократить все нечетные числа в числителе и знаменателе до 49

(1/2)^50 (1/2*1/4*1/6*1/8...1/24)*(51/26*...99/50)

Впкрвой скобке 12 сомножителей, во второй -24.

Теперь давайте оценим, каждый сомножитель первой скобки меньше 2, следовательно сама скобка меньше, чем два в степени 12, каждый сомножитель второй скобки тоже мньше 2, следовательно вся скобка мень, чем два в степени 24, итак левая часть у нам меньше чем
(1/2)^50 * 2^(12+24)=(1/2)^14
А уж одна вторая в степени 14 меньше, чем 1/10

[Obelix]

>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять

[Monopole]

Originally Posted by Obelix

>Monopole
Спасибо. Решение действительно есть. Хотя я знаю задачка задумывалась с совсем другим решением, но в принципе семиклассник должен и это понять

А с каким решением задумывалась задачка ? В 7-ом классе уже проходят прогрессии ? Мне кажется, что тут что-то связанное с ними тоже можно применить.

[Obelix]

>Monopole
Насколько я слышал, задачка имеет стандартное 'фокусное' решения, только надо заметить. Умножить на что-то наверное надо, и все развяжется.

[Obelix]

Вот одно красивое решение, о котором мне analyst рассказал. Но думаюю оно не единственное (красивое).

Доказываем, что
k/(k+1)<(k+1)/(k+2) для любого натурального k. Если семиклассник не в состоянии это доказать, то я согласен с tig'ом: надо его заставить перемножить все.

Далее:
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 2/3 * 4/5 *...* 100/101 = (2/1 * 4/3 * ... *100/99)*1/101
Перетаскивая выражиение в скобках в левую сторону:
(1/2 * 3/4 * ... * 99/100)^2 < 1/101
1/2 * 3/4 * ... * 99/100 < 1/sqrt(101) < 1/10
Что и требовалось доказать.

[PsilocybeLarvae]

my dad came up with the same one

[analyst]

Вот вам еще один "трай зис"

доказать что

(a+b+c)(1/a+1/b+1/c)>=9

a>0; b>0 ; c>0